Question

【题目】已知，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，
（1）如图1，若BE=DE，求证： = ；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接OC，AP为⊙O的直径，PQ为⊙O的弦，且PQ∥AB，求证：∠OCD=∠APQ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD分别与OA、OC交于点G、H，连接DQ，设CD与AP交于点F， 若PQ=2CF，BH=5GH，DQ=4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AD、BC，

∵ = ，

∴∠B=∠D，

在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB，

∴AD=BC，

∴ =

（2）证明：连接AC．

∵ = ，

∴∠BAC=∠ACD，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠BAO=∠OCD，

∵PQ∥AB，

∴∠BAO=∠APQ，

∴∠COD=∠APQ

（3）连接AD、AH、BP、BQ、DP，延长CO交PQ于M，作AN⊥BD于N．

∵∠OCD=∠APQ．OC=OP，∠AOC=∠POM，

∴△COF≌△POM，

∴CF=PM，

∵PQ=2CF，

∴PQ=2PM，

∴M是PQ的中点，

∴OM⊥PQ，

∴∠CFO=∠PMO=90°

∴AP⊥CD，

∴ = ，

PQ∥AB，

∴∠OMP=∠AKM=90°，

∴OC⊥AB，

∴ = ，

∴AK=BK，

∴ = = ，OC垂直平分AB，设GH=a，

∴BH=5GH=5a，

∵OC垂直平分AB，

∴AH=BH=5a，∠HAB=∠HBA，

∴∠AHD=2∠ABH，

∵ = = ，

∴∠ADC=∠CDB=∠ABD，

∴∠ADH=2∠ADC=2∠ABH=∠AHD，

∴AH=AD=5a，

∵CD⊥AP，

∴∠AFD=∠GFD=90°，

∵DF=DF，∠ADC=∠CDB，

∴△ADF≌△GDF，

∴AD=DG=5a，

∴DH=6a，BD=11a，

∵AH=AD，AN⊥DH，

∴NH= DH=3a，

AN= =4a，BN=BH+NH=8a，

在Rt△ABN中，

tan∠ABD= = = ，

∵ = ，

∴∠ABD=∠APD，

∴tan∠ABD=tan∠APD= ，

∵AP是直径，

∴∠ADP=90°，

∴ = ，

∴PD=2AD=10a，AP= =5 a，

∵AP为直径，

∴∠ABP=90°，

∵PQ∥AB，

∴∠ABP+∠BPQ=180°，

∵∠ABP=90°，

∴∠BPQ=90°，

∴BQ为⊙O的直径，

∴BQ=5 a，

∵BQ为⊙O的直径，

∴∠BDQ=90°，

∴DQ= =2a，

∵DQ=4，

∴2a=4，

∴a=2，AP=5 a=10 ，

∴⊙O的半径OA= AP=5

【解析】（1）连接AD、BC，只要证明△AED≌△CEB，即可解决问题．（2）连接AC．想办法证明：∠OCD、∠APQ都与∠PAB相等即可．（3）连接AD、AH、BP、BQ、DP，延长CO交PQ于M，作AN⊥BD于N．由△COF≌△POM，推出M是PQ的中点，OC垂直平分AB，设GH=a，则BH=5GH=5a，由OC垂直平分AB，推出AH=BH=5a，∠HAB=∠HBA，推出∠AHD=2∠ABH，由 = = ，推出∠ADC=∠CDB=∠ABD，推出∠ADH=2∠ADC=2∠ABH=∠AHD，推出AH=AD=5a，由△ADF≌△GDF，推出AD=DG=5a，推出DH=6a，BD=11a，由AH=AD，AN⊥DH，推出NH= DH=3a，AN= =4a，BN=BH+NH=8a，在Rt△ABN中， tan∠ABD= = = ，由 = ，推出∠ABD=∠APD，推出tan∠ABD=tan∠APD= ，推出 = ，推出PD=2AD=10a，AP= =5 a，再证明BQ为⊙O的直径，想办法列出方程即可解决问题．