Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交与点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN．

（2）若AC=4，PC=3，求MNBC的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】

（1）由AC为 O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是 O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，进而可得结论.（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

∵AC为⊙O直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AC=4， PC=3，

∴AP=5，

∴PB=1，

∵PC是⊙O的切线，

∴PC2=PMPA，

∴PM=，

∴AM=，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴ ，

∴MNBC=PBAM=．