Question

【题目】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．

（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；

（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论　 　；（不用证明）

（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BM﹣DN=MN；（3）DN﹣BM=MN；证明见解析；

【解析】

（1）延长CB到G使BG=DN，由AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，可证明△AGB≌△AND，进而可知AG=AN，∠GAB=∠DAN，由∠MAN=45°，BAD=90°

可知∠GAM=45°，进而证明△AMN≌△AMG，根据MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得答案.（2）BM﹣DN=MN；（3）在ND上截取DG=BM，可证明△ADG≌△ABM，进而可知AG=AM，∠MAB=∠DAG， 根据∠MAN=45°，∠BAD=90°，可证明△AMG为等腰直角三角形，可知AN为MG的垂直平分线，进而可知NM=NG，即可证明DN﹣BM=MN.

（1）延长CB到G使BG=DN，

∵AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，

∴△AGB≌△AND，

∴AG=AN ，∠GAB=∠DAN，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，

∴∠GAM=∠NAM，而AM是公共边，

∴△AMN≌△AMG，

∴MN=GM=BM+GB=MB+DN；

（2）BM﹣DN=MN；

（3）DN﹣BM=MN．如图3，

在ND上截取DG=BM，

∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，

∴△ADG≌△ABM，

∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，

∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，

∴AN垂直MG，

∴AN为MG垂直平分线，

所以NM=NG．

∴DN﹣BM=MN.