Question

【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），点P是直线AB上的一个动点，记点P关于y轴对称的点为P′．
（1）当b=3时（如图1），

①求直线AB的函数表达式．
（2）②在x轴上找一点Q（点O除外），使△APQ与△AOB全等，直接写出点Q的所有坐标
（3）若点P在第一象限（如图2），设点P的横坐标为a，作PC⊥x轴于点C，连结AP′，CP′．当△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形时，求出a，b的值．

（4）当线段OP′恰好被直线AB垂直平分时（如图3），直接写出b= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，

∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）

∴有 ，解得： ．

故直线AB的函数表达式为y= x+3．

（2）（﹣9，0）、（﹣8，0）或（1，0）
（3）

解：过P′作PD⊥x轴于点D，如图所示．

∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0），

∴直线AB的斜率为 = ，

即直线AB的解析式为y= x+b．

∵点P在直线AB上，

∴点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（﹣a，0），

∴P′D= a+b，AC=a+4，AD=4﹣a．

∵点P为第一象限的点，

∴a＞0．

∵△ACP′是以点P′为直角顶点的等腰直角三角形，

∴有 ，即 ，

解得：

（4）
【解析】解：（1）①设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∵点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，3）
∴有 ，解得： ．
故直线AB的函数表达式为y= x+3．
②∵点P是直线AB上的一个动点，点Q为x轴上一点（点O除外），
∴设点Q的坐标为（m，0），∠PAQ=∠BAO，
∴AQ=|m+4|．
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB= =5．
△APQ与△AOB全等有两种情况：
当AQ=AO时，即|m+4|=4，
解得：m=0（舍去），或m=﹣8，
此时点Q的坐标为（﹣8，0）；
当AQ=AB时，即|m+4|=5，
解得：m=﹣9，或m=1，
此时点Q的坐标为（﹣9，0）或（1，0）．
综上所述：点Q的所有坐标为（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．
所以答案是：（﹣9，0），（﹣8，0）或（1，0）．（4）由（3）可知：点P的坐标为（a， a+b），则点P′的坐标为（﹣a， a+b），直线AB的解析式为y= x+b．
则OP′的中点坐标为（﹣ ， ），直线OP′的斜率为 =﹣ ﹣ ．
∵线段OP′恰好被直线AB垂直平分，
∴有 ，
解得： ，或 （舍去）．
所以答案是： ．