Question

【题目】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．

（1）求证：；

（2）当为的中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；

（3）若为的中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）由AD=BD，AD=CE，得到BD=CE，利用MN∥AB，得到四边形BECD是平行四边形，然后根据，即可得到四边形BECD是菱形；

（3）根据∠A=45°，∠ACB=90°，则得到∠ABC=∠A=45°，从而得到AC=BC，即△ABC是等腰直角三角形，由D是AB中点，得到CD⊥AB，即可得到四边形BECD是正方形．

证明：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，即，

∴四边形是平行四边形，

∴．

（2）四边形是菱形．理由如下：

∵为的中点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形．

又∵，

∴四边形是菱形．

（3）当时，四边形是正方形，理由如下：

∵，，

∴，

∴，

又∵为的中点，

∴，

∴，

由（2）知四边形是菱形，

∴四边形是正方形．