Question

【题目】已知，在平面直角坐标系中，A(1，a)、B(b，1)，其中a、b满足＋(a＋b－7)2＝0．

(1) 求a、b的值；

(2) 平移线段AB至CD，其中A、B的对应点分别为C、D，若D的坐标为（0,n）且n<0,若四边形ABDC的面积为20，求D的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段AB绕点A以每秒80的速度顺时针旋转，同时线段CD绕点D以每秒20的速度顺时针旋转（当AB旋转到一周时两线段同时停止旋转），设运动时间为t秒，当t为何值时，直线AB与直线CD的夹角为600？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（0，）；（3）当t为10秒，20秒或40秒时，直线AB与直线CD的夹角为60°.

【解析】

（1）由a、b满足＋(a＋b－7)2＝0可得：2a-b-2=0，a+b-7=0，由这两个等式组成关于a、b的方程组，解此方程组即可求得a、b的值；

（2）如下图，分别过点A，B作AE⊥y轴E， BF⊥y轴F，由S平行四边形ABDC=20可得S△ABD= S四边形AEFB+S△BFD- S△AFD=10，因此结合图形和题意列出关于n的方程，解方程求得n的值即可得到点D的坐标；

（3）设旋转后直线AB′与DC′交于点E，过点E作直线EF∥AB，则可得： EF∥AB∥CD，然后分∠AEC′=60°，∠AED=60°，∠B′EC′=60°三种情况结合图1、图2和图3及已知条件进行分析解答即可.

（1）∵a、b满足＋(a＋b－7)2＝0，

∴ ，解得： ；

（2）分别过点A，B作AE⊥y轴E， BF⊥y轴F，

∵S平行四边形ABDC=20，

S△ABD= S四边形AEFB+S△BFD- S△AFD，

又∵A(1，3)，B(4，1)，D（0，n），

∴S△ABD==10， 解得

∴点 D的坐标为（0，）；

（3）设旋转后直线AB′与DC′交于点E，过点E作直线EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴ EF∥AB∥CD.

①如图1，若∠AEC′=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠AEF=∠BAB′=8t，∠FEC′=∠CDC′=2t，

∴∠AEC′=8t-2t=60°，解得t=10；

②如图2，若∠AED=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠AEF+∠BAB′=180°，∠FED=∠CDC′=2t，

∴∠AEF=180°-8t，

∵∠AED=∠AEF+∠FED=60°，

∴180°-8t+2t=60°，解得：t=20；

③如图3，若∠B′EC′=60°，

∵EF∥AB∥CD，

∴∠FEB′=∠BAB′=360°-8t，∠FED=∠CDC′=2t，

∵∠B′EC′=180°-∠FEB′-∠FED=60°，

∴180°-（360-8t）-2t=60°，解得：t=40；

综上所述，当t为10秒，20秒或40秒时，直线AB与直线CD的夹角为60°.