Question

【题目】如图1，已知AD∥BC，∠B=∠D．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，点E为BA延长线上一点，∠EAD与∠BCD的角平分线交于点P．

①求∠APC的度数；

②连接DP，若∠PDC=750，则∠DPC-∠B=________．

Answer 1

【答案】90°

【解析】

（1）根据平行线的性质和判定结合已知条件进行分析证明即可；

（2）①如图3，过点P作PF∥AB，结合已知条件易得∠EAP=∠APF，∠DCP=∠CPF，从而可得∠APC=∠EAP+∠DCP，由已知易得∠EAD=∠B，∠B+∠BCD=180°，进而可得∠EAD+∠BCD=180°，结合AP平分∠EAD，CP平分∠BCD即可得到∠APC=∠EAP+∠DCP=90°；②如图4，延长DP交BA的延长线于点M，由已知易得I、∠MPA+∠APF=75°，由∠APC=90°可得II、∠MPA+∠DPC=90°，再证∠APF=∠B，即可由I-II得到所求结果.

（1）∵AD∥BC，

∴∠ A+∠ B=180°，

∵∠ B=∠ D，即∠ A+∠ D =180°，

∴ AB∥CD；

（2）①过点P作直线PF∥AB，

∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠EAD=∠B，∠B+∠BCD=180°，AB∥PF∥CD，

∴∠EAD+∠BCD=180°，

∵AP平分∠EAD，CP平分∠BCD，

∴∠EAP=∠EAD，∠DCP=∠BCD，

∴∠EAP+∠DCP=(∠EAD+∠BCD)=90°，

∵AB∥PF∥CD，

∴∠APF=∠EAP，∠CPF=∠DCP，

∴∠APC=∠APF+∠CPF=∠EAP+∠DCP=90°，即∠APC=90°；

②如图4，延长DP交BA的延长线于点M，

∵AB∥PF∥CD，

∴∠APF=∠EAP=∠EAD=∠B，∠MPA+∠APF=∠MPF=∠PDC=75°，

∵∠APC=90°，

∴∠MPA+∠DPC=90°，

∴(∠MPA+∠DPC)-(∠MPA+∠APF)=90°-75°=15°，

∴∠DPC-∠APF=15°，

∴∠DPC-∠B=15°.