Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是BC边的中点,E是AC边上的任意一点,△DCE和△DC′E关于直线DE对称,若点C′ 恰好落在△ABC的中位线上,则CE的长度为_______.

Answer 1

【答案】或.

【解析】

分别画了三角形的三条中位线，根据题意C′只能落在DF和FG上，分别画出图形，设CE=x,利用勾股定理列方程求出x的值即可.

解：取AC,AB的中点F,G,连结DF,FG,GD.

① 如图，当点C′落在DF上时，

∵D为BC的中点，

∴DC′=DC=BC=4,

在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,

∴AB==10,

∵D,F分别为中点，

∴DF=AB=5,

∴FC′= DF- DC′=5-4=1，

设CE=CE′=x,则EF=3-x,

在Rt△EFC′中，

,

∴，

解得，x=,

∴CE=.

② 如图，当点C′落在FG上时，

∵D,G分别为各边中点，

∴DG=3,

又DC′=DC=4,

在Rt△DGC′中，

=,

∵F,G分别为各边中点，

∴FG=BC=4,

∴FC′=FG-GC′=4-，

设EC=EC′=x,则EF=3-x,

在Rt△EFC′中，

，

∴，

解得，x=,

∴CE=.

综上，CE的值为或.

故答案为：或.