Question

【题目】已知∠AOB为锐角，如图（1）．
（1）若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠MON=32°，∠COD=10°，如图（2）所示，求∠AOB的度数．
（2）若OM，OD，OC，ON是∠AOB的五等分线，如图（3）所示，以射线OA，OM，OD，OC，ON，OB为始边的所有角的和为980°，求∠AOB的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM=∠COM，

同理：∠BON=∠DON，

∵∠MON=32°，∠COD=10°，∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD，

∴32°=∠COM+∠DON﹣10°，

∴∠COM+∠DON=42°，

∴∠AOM+∠BON=42°，

∵∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON，

∴∠AOB=42°+32°=74°

（2）解：设∠AOB被五等分的每个角为x°，则∠AOB=5x°，

以射线OA为始边的所有角的度数为x°+2x°+3x°+4x°+5x°=15x°，

以射线OM，OD，OC，ON，OB为始边的所有角的度数分别为11x°，9x°，9x°11x°，15x°，

由题意得15x+11x+9x+9x+11x+15x=980，

解得x=14．

故∠AOB=5×14°=70°

【解析】（1）根据角平分线的定义容易得到，∠MON=∠CON+∠DON﹣∠COD，根据已知条件求得∠COM+∠DON=42°，即可求得∠AOM+∠BON=42°，从而求得∠AOB=∠AOM+∠BON+∠MON=74．（2）设∠AOB被五等分的每个角为x°，则∠AOB=5x°，分别表示出以射线OA、OM、OD、OC、ON、OB为始边的所有角的度数，根据题意列出关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得∠AOB的度数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角的平分线的相关知识，掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，以及对角的运算的理解，了解角之间可以进行加减运算；一个角可以用其他角的和或差来表示．