Question

【题目】如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)．

(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1=90°时，则∠2=_____°；

(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折(点P在线段BC上，点E在线段AB上)使点B落在点若与互为“互优角”，求∠BPE的度数；

(3)再将纸片沿着PF对折(点F在线段CD或AD上)使点C落在C′：

①如图2，若点E、C′、P在同一直线上，且与互为“互优角”，求∠EPF的度数(对折时，线段落在∠EPF内部)；

②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE求∠CPF应满足什么样的数量关系(直接写出结果即可)．

Answer 1

【答案】（1）30°或150；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°，②∠EPF=40°．

【解析】

（1）按照“互优角的定义，求出∠2即可；

（2）根据∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°解答即可；

（3）①由∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°解答即可；

②∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°解答即可．

解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角

∴|∠1-∠2|=60°

∵∠1＝90°

∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°

解得：∠2=30°或150°

故答案为：30°或150．

（2）∵∠EPB'与∠B'PC互为“互优角”

当∠EPB'<∠B'PC时，∠B'PC-∠EPB'=60°

∴∠B'PC=∠EPB'+60°

∵△BEP翻折得△B'EP

∴∠EPB=∠EPB'

∵∠EPB+∠EPB'+∠B'PC=180°

∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180

解得：∠EPB'=40°

当∠EPB'>∠B'PC时，∠B'PC-∠EPB'=60°，可得∠EPB'=80°

故∠EPB'的值为40°或80°；

（3）①由题意得：点E、C、P在同一直线上，

∵∠B'PC'与∠EPF互为“互优角

∴∠BPC<∠EPF，∠EPF-∠B'PC=60°=∠B'PF

∵∠BPE=∠B'PC=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF

∴∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°

∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，得∠EPF=80°；

②由题意得：点E、C、P在同一直线上，

∵∠B'PC'与∠EPF互为“互优角

∴∠B'P'C-∠EPF=60°，得∠B'P'C=60°+∠EPF

∵∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°

∴2∠EPF+60°+∠EPF=180°，解得∠EPF=40°．

故∠EPF的度数为40°．