Question

【题目】若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，已知抛物线C1：y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2：y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”，抛物线C1与x轴交于点A、C，与y轴交于点B．

（1）求抛物线C1的表达式．
（2）若F（t，0）（﹣3＜t＜0）是x轴上的一点，过点F作x轴的垂线交抛物线与点P，交直线AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D．

①是否存在点F，使PE+PD的值最大，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点F的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4，可知顶点坐标为（﹣1，4），

∵知抛物线C1：y1=﹣x2+ax+b与抛物线C2：y2=2x2+4x+6为“友好抛物线”，

∴顶点相同，抛物线C1的解析式为y1=﹣（x+1）2+4，

即y1=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：①由题意易知A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，PE+PD的值越大，

易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立 ，

消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m= 时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=﹣ ，y=﹣ + = ，

∴点P（﹣ ， ）时，PD+PE的值最大，

此时t=﹣ ．

②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，

（i）如图1，当点M在y轴上时，过点P作PQ⊥y轴于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

∵点P的横坐标为t（t＜0），则PQ=﹣t，

即PF=﹣t，

∴点P的坐标为（t，﹣t），

∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣t2﹣2t+3=﹣t，

整理得，t2+t﹣3=0，

解得t1= （舍去），t2= ，

（ii）如图2，点N在y轴上时，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAO，

∴PF=AO，

则点P坐标为P（t，3），

则有﹣t2﹣2t+3=3，解得x=﹣2或0，

观察图象可知，当正方形APMN中的边MN与y轴有且仅有一个交点时，t的取值范围为 ≤t≤﹣2

【解析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标即可解决问题；（2）①首先证明△PDE是等腰直角三角形，可知PD越大，PE+PD的值越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立 ，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m= 时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，由此即可解决问题；②分两种情形（i）如图1中，当点M在y轴上时，（ii）如图2，点N在y轴上时，分别求解即可；
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和二次函数的图象，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能得出正确答案．