Question

【题目】如图所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D、E，点F是⊙O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线于点G，则BG的长是 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：连接OD．

∵AC为圆O的切线，∴OD⊥AC，

又∵AC=BC=4，∠C=90°，

∴∠A=45°，

根据勾股定理得：AB= =4 ，

又∵O为AB的中点，

∴AO=BO= AB=2 ，

∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2 × =2，

∴BF=OB﹣OF=2 ﹣2．

∵GC⊥AC，OD⊥AC，

∴OD∥CG，

∴∠ODF=∠G，

又∵∠OFD=∠BFG，

∴△ODF∽△BGF，

∴ = ，即 = ，

∴BG=2 ﹣2．

所以答案是：2 ﹣2．

【考点精析】关于本题考查的切线的性质定理和相似三角形的判定与性质，需要了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．