Question

【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．

下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB=AD

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合

∵∠ADC=∠B=90°

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线根据SAS，易证△AFG≌ ，从而可得EF=BE+DF．

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF．

请写出推理过程：

Answer 1

【答案】（1）△AFE；（2）∠B+∠D=180°．

【解析】

试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

解：（1）理由是：如图1，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

则∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°﹣45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF=FG=BE+DF；

故答案为：△AFE；

（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFE和△AFG中，

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案为：∠B+∠D=180°．