Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，c）（见图1），且 ．

（1）求a、b、c的值；

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使三角形COM的面积是三角形ABC的面积的一半，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使三角形COM的面积三角形ABC的面积的一半仍然成立? 若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=-2，b=3，c=2；（2）①M（，0）或（-，0）,②存在，满足条件的点M坐标为（0，5）或（0，-5）；（3）结论：的值是定值，=2．

【解析】

（1）根据绝对值、二次根式和平方的非负性，可得到，（c-2）2=0，计算即可解得a、b、c的值；

（2）由（1）可知A（-2，0），B（3，0），分情况讨论：①由题意设点M的坐标为（x，0），在OM=，结合△COM的面积是△ABC面积的一半，列出方程，解方程结合点M在x轴的正半轴即可求得此时点M的坐标；

②由①中的结果可得点M在x轴负半轴时的坐标；当M在y轴上时，可设点M的坐标为（0，y），结合△COM的面积是△ABC面积的一半，列出方程，解方程即可求得点M在y轴上的符合条件的坐标；

（3）由题意易证∠AOE+∠FOG=90°，∠FOG=∠POF，∠DOE=∠FOG，由此可得到∠OPD=∠POG=2∠FOG，从而可得=2.

（1）因为，根据绝对值、二次根式和平方的非负性，可以得到，（c-2）2=0，解得到a=-2，b=3；因为（c-2）2=0，所以c=2，故a=-2，b=3，c=2；

（2）解：由（1）可知A（-2，0），B（3，0），则分情况讨论点M：

①当M在x轴上时，设M（m，0），由题意：|m|2=5，

∴m=±，

∴M（，0）或（-，0）．

②当M在y轴上时，设M（0，m），由题意：|m|1=52，

∴m=±5，

∴M（5，0）或（0，-5），

综上所述，满足条件的点M坐标为M（，0）或（-，0）或（0，5）或（0，-5）．

（3）解：如图中，结论：的值是定值，=2．

理由：∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE+∠FOG=90°，

∵∠AOE=∠EOP，∠EOP+∠POF=90°，

∴∠FOG=∠POF，

∵∠DOE+∠AOE=90°，∠AOE+∠FOG=90°，

∴∠DOE=∠FOG，

∵CP∥AG，

∴∠OPD=∠POG=2∠FOG，

∴∠OPD=2∠FOG，

∴=2．