Question

【题目】如图，圆E是三角形ABC的外接圆， ∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分别以BC、AO所在直线建立x轴.

（1）求三角形ABC的外接圆直径；

（2）求过ABC三点的抛物线的解析式；

（3）设P是（2）中抛物线上的一个动点，且三角形AOP为直角三角形，则这样的点P有几个？（只需写出个数，无需解答过程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为y=-x2+x+6．（3）满足条件的点P有6个．

【解析】试题分析：（1）如图1中，连接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB的长，进而得到结论．

（2）如图2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，连接AE，则四边形EMON是矩形．利用勾股定理求出点A、B、C三点坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（3）①以OA为直径画圆与抛物线有4个交点，根据直径所对的圆周角是直角，可知这样有4个点P满足条件．②当PA⊥OA时，有一个点P满足条件．③当PO⊥OA时，有两个点P满足条件．

试题解析：解：（1）如图1中，连接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，∴EB=EC=，∴⊙E的直径为．

（2）如图2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，连接AE，则四边形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON== =，OM=NE=OC﹣CM=，在Rt△EN中，AN===，∴OA=AN+ON=6，∴A（0，6），B（﹣2，0），C（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣3），把（0，6）的坐标代入得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．

（3）如图3中，①以OA为直径画圆与抛物线有4个交点，根据直径所对的圆周角是直角，可知这样有4个点P满足条件．

②当PA⊥OA时，有一个点P满足条件．

③当PO⊥OA时，有两个点P满足条件．

所以满足条件的点P有6个．