Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE．(1)求∠ECD的度数；(2)若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：

（1）由AF垂直平分CD可得AC=AD，再由等腰三角形的“三线合一”可得∠FAB=∠CAB，同理可得∠GBA=∠CBA；如图，设AF、BG相交于点O，则∠GOF=∠AOB=180°-∠FAB-∠GBA=180°-（180°-∠ACB）=135°，由此在四边形GOFC中可得∠ECD=360°-∠CGO-∠CFO-∠GOF=360°-90°-90°-∠GOF=180°-135°=45°.

（2）思路同（1）只需把∠ACB=90°换成∠ACB= 可解得∠DCE=90°- .

试题解析：

（1）如图，设AF、BG相交于点O，连接CO，

∵AF垂直平分CD，

∴AC=AD，∠CFO=90°，∴∠FAB=∠CAB.

同理可得：∠CGO=90°，∠GBA=∠CBA.

∴∠GOF=∠AOB=180°-∠FAB-∠GBA=180°-（180°-∠ACB）=90°+∠ACB=135°，

∵四边形GOFC的内角和为360°，

∴∠ECD=360°-∠CGO-∠CFO-∠GOF

=360°-90°-90°-∠GOF

=180°-135°

=45°.

（2）同（1）可得∠GOF=90°+∠ACB=90°+ ，∠CFO=90°，∠CGO=90°，

∵四边形GOFC的内角和为360°，

∴∠ECD=360°-∠CGO-∠CFO-∠GOF

=360°-90°-90°-∠GOF

=180°-（90°+ ）

=90°- .