Question

【题目】如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；其中正确的是_________

Answer 1

【答案】①②③

【解析】如图，（1）∵AC=AD，∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=，

∵CE⊥DC，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=165°.故①正确；

（2）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACE-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD=BC.故②正确；

（3）延长AD交BE于点F，∵△ACD≌△BCE，∴∠2=∠CAD=30°，

∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠3=45°，∴∠1=∠CAB-∠CAD=15°，

∴∠AFB=180°-∠1-∠2-∠3=90°，∴AD⊥BE.故③正确；

综上所述：正确的结论是①②③.