Question

【题目】如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长 ．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-6）2-3；（2）DE=3；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=6，可设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k，将A，C两点坐标代入求a，k，即可确定该抛物线的解析式；（2）连接AE，可知∠AED=90°，AE=3 ，因为直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，所以AB=BD=3， AD=6 ，于是利用勾股定理可求出DE的长；（3）由题意可知，利用有两个角对应相等的两个三角形相似，切线DE上符合条件的F点有两个，即当BF⊥ED时和FB⊥AD时，利用相似三角形性质即可求出BF的长．

试题解析：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=6，∴设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k，∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），∴将A，C两点坐标代入得： ，解得：a=，k=-3．∴抛物线的解析式为y=（x-6）2-3；（2）连接AE，∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3 ，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6 ， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴DE=3；

（3）利用有两个角对应相等的两个三角形相似，当BF⊥ED时，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴ ，即，∴BF=．当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD ， ∴ 即BF=，∴当△BFD与△EAD相似时，BF的长为或．