Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°

（1）作边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）连接AE，求证：AE=2DE．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

试题（1）根据作线段垂直平分线方法作出图形即可；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CAB=60°，由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，即可得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=60°﹣30°=30°，在Rt△ACE中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=2CE，再由角平分线的性质得出CE=DE即可得结论．

试题解析： 解：（1）如图所示；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

∵边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B=30°，

∴∠CAE=60°﹣30°=30°，

∴AE=2CE．

∵∠BAE=∠CAE=30°，

∴AE是∠BAC的平分线，

∴CE=DE，

∴AE=2DE．