Question

【题目】（9分）已知如图（1）：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．

（1）写出线段EF与BE、CF间的数量关系？（不证明）

（2）若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中线段EF与BE、CF间是否存在（1）中数量关系？请说明理由．

（3）若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图（3），这时图中线段EF与BE，CF间存在什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+CF；（2）仍然有EF=BE+CF，理由见解析；（3）EF=BE﹣CF，理由见解析．

【解析】

试题（1）根据角平分线的定义可得∠EBO=∠OBC，已知EF∥BC，根据平行线的性质可得∠EOB=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，再由等腰三角形的判定可得OE=BE．同理可得OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF；（2）仍然存在EF=BE+CF，根据（1）的方法即可证得结论；

（3）EF=BE﹣CF，利用（1）的方法可证得EO=BE，FO=CF，可得到EF=BE﹣CF．

试题解析：解：（1）EF=BE+CF；

（2）仍然有EF=BE+CF．理由如下：

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，

∵BO平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC，

∴∠EOB=∠EBO，

∴OE=BE，同理OF=FC，

∴EF=EO+OF=BE+CF；

（3）EF=BE﹣CF．理由如下：

∵OE∥BC，

∴∠EOC=∠OCD，

∵CO平分∠ACD，

∴∠FCO=∠OCD，

∴∠FCO=∠FOC，

∴OF=CF，

同理可得到BE=EO，

∴EF=EO﹣FO=BE﹣CF．