Question

【题目】如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线

与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；

（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFC面积最大时，写出该矩形在AB边上的顶点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（3，-2）；（3）D(，0)或D(－，0)、E(2，0)

【解析】试题分析：(1)先求得直线与x轴交于点B与y轴交于点C的坐标，再把点B的坐标代入，求得b值，即可得抛物线的解析式；（2）先判定△ABC为直角三角形，当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90° ，△BAM≌△ABC，即可得点M的坐标；（3）分矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上和矩形一个顶点在AB上两种情况求点的坐标.

试题解析：

(1) 由题意：直线与x轴交于点B（4,0），

与y轴交于点C点C（0，-2），

将点B（4,0）代入抛物线易得

∴所求抛物线解析式为：

(2) ∵, ∴△ABC为直角三角形，∠BCA=90°

∵点M是上述抛物线上一点∴不可能有MB与AB或者MA与AB垂直

当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC

此时点M的坐标为：M（3，-2）

(3)∵△ABC为直角三角形，

∠BCA=90°

当矩形DEFG只有顶点D

在AB上时，显然点F与点

C重合时面积最大，如图1，

设CG＝x，

∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB.

∴AG：AC＝DG∶BC，即∴DG＝2(－x)

∴S矩形DEFG＝－2(x－)＋ 即x＝时矩形DEFG的面积有最大值 (2－x)．

∴S矩形DEFG＝x· (2－x)＝－ (x－1)2＋，即当x＝1时矩形DEFG的面积同样有最大值，

综上所述，无论矩形DEFG有两个顶点或只有一个顶点在AB上，其最大面积相同

当矩形一个顶点在AB上时， GD＝2(－x)＝，AG＝，

∴AD＝， OD＝AD－OA＝， ∴D(，0)．

当矩形DEFG有两个顶点D、E在AB上时，∵DG＝1， ∴DE＝，

∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴AD∶AO＝DG∶OC，解得AD＝，

∴OD＝， OE＝－＝2， ∴D(－，0)，E(2，0)．

综上所述，满足题意的矩形在AB边上的顶点的坐标为D(，0)或D(－，0)、E(2，0) ．