Question

【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（3，4）在直线y=x+m上，

∴4=3+m．

∴m=1．

设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．

∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，

∴4=a（3﹣1）2，

∴a=1．

∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．

即y=x2﹣2x+1．

（2）

解：设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．

∴PE=h=yP﹣yE

=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）

=﹣x2+3x．

即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．

（3）

解：存在．

解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．

∵点D在直线y=x+1上，

∴点D的坐标为（1，2），

∴﹣x2+3x=2．

即x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）

∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．

解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．

设直线CE的函数关系式为y=x+b．

∵直线CE经过点C（1，0），

∴0=1+b，

∴b=﹣1．

∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．

∴

得x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）

∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．

【解析】（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．