Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形

；

证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形

；证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形

（2）

解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．

；

解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．

；解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．
【解析】（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，从而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E为AB的中点，得到AE=BE．又因为∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．②在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE= AB，BE= AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，设BC=a，则AB=2BC=2a，AD=AB=2a．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=3a2 ． 在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2=HC2 ， 即x2+3a2=（2a﹣x）2 ． 解得x= a，即AH= a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对平行四边形的判定的理解，了解两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．