Question

【题目】已知：在正方形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，过P点作PE⊥BD于点E，连接BP.

(1) 如图1，求 的值；

(2)O为BP的中点，连接CO并延长交BD于点F.

① 如图2，连接OE，求证：OE⊥OC；

② 如图3，若，求DP的长.

Answer 1

【答案】（1）;(2)①见解析;②4.

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质和PE⊥BD得到DP=EP，即EP=DP，代入原式即可得到结论；

（2）①首先得出∠POE＝2∠DBP，∠POC＝2∠CBP，从而得到∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，即可得到结论；

② 连接OE、CE，把△DEC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，连结FG，则△BGC≌△DEC，得到EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°，进而得到∠GCF=∠ECF．再证△GCF≌△ECF，得到EF=FG，在Rt△FBG中，有 ，即，由已知，设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x，得到3x＋4x＋5x＝，解得x的值，进而得到结论．

试题解析：解：（1）∵ABCD是正方形，∴DC=AB=6，∠BDC=45°，∵PE⊥BD，∴△EPD是等腰直角三角形，∴DP=EP，∴EP=DP，∴EP+CP=DP +CP=（DP+CP）=DC=×6 =.

（2） ① ∵∠PEB＝∠PCB＝90°，O为BP的中点，∴OE＝OB＝OP＝OC ，∴∠POE＝2∠DBP，∠POC2∠CBP，∴∠COE＝∠POE＋∠POC＝2（∠DBP＋∠CBP）＝90°，∴OE⊥OC；

② 连接OE、CE，把△DEC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，连结FG，则△BGC≌△DEC，∴EC=GC，DE=BG，∠GCB=∠ECD，∠GBC=∠EDC=45°．∵∠ECF=45°，∠BCD=90°，∴∠ECD+∠BFC=45°，∴∠GCF=45°，∴∠GCF=∠ECF．在△GCF和△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，FC=FC，∴△GCF≌△ECF，∴EF=FG．∵∠DBC=∠GBC=45°，∴∠FBG=90°，∴ ，即，∵，设BF＝3x，EF＝5x，则DE＝4x，∴3x＋4x＋5x＝，解得x＝，∴DP＝DE＝x．