Question

【题目】长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．

（1）求点B的坐标；

（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1:4两部分，求点P的坐标；

（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM＝∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（－5，－3）；（2）点P的坐标为（－3,0）或（0,－）；（3），理由见解析.

【解析】

（1）根据已知条件易得点B的坐标为（-5，-3）；

（2）根据题意分点P在边OA上和点P在边OC上两种情况结合已知条件进行分析解答即可；

（3）如图3，延长BC至点F，过点M作ME∥CD交BC于点E，结合已知条件可得∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC=∠MCF-∠NCM，在结合∠CNM＝∠NCF＝∠MCF－∠NCM即可得到∠CNM=2∠D，由此即可得到＝.

（1）∵四边形OABC为长方形，OA＝5，OB＝3，且点B在第三象限，

∴B（－5，－3），

（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP＝×OA×OC，

即×3×AP＝×5×3，∴AP＝2，

∵OA＝5，

∴OP＝3，

∴P（－3,0）.

若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC＝×OA×OC，

即×5×PC＝×5×3，∴PC＝ ∵OC＝3，∴OP＝，∴P（0,－）.

综上所述，点P的坐标为（－3,0）或（0,－）.

（3）如图3，延长BC至点F，过点M作ME∥CD交BC于点E，

∵四边形OABC为长方形，

∴OA∥BC.

∴∠CBM＝∠AMB，∠AMC＝∠MCF.

∵∠CBM＝∠CMB，∠MCF=∠CBM+∠CMB，

∴∠CMB=∠MCF，

∵ME∥CD，

∴∠EMC＝∠MCD.

又∵CD平分∠MCN，

∴∠EMC=∠NCM，

∴∠D＝∠BME＝∠CMB－∠EMC=∠MCF-∠NCM，

又∵∠CNM＝∠NCF＝∠MCF－∠NCM，

∴∠CNM=2∠D，

∴＝.