Question

【题目】如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系(、、)，并证明你的判断；

(3)为轴上一点，以为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值；

(4)若，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及的最大面积，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由详见解析；（3）6；（4）当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B（x， x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组得B（1+，3+），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），则EQ=﹣t2+t+1，则S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．

试题解析：

（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，

所以抛物线解析式为y=x2+1；

（2）BF=BC．

理由如下：

设B（x， x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，

∴BF=x2+1，

∵BC⊥x轴，

∴BC=x2+1，

∴BF=BC；

（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，

∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF为等边三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，/span>

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然数m的值为6；

（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，

当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，

解方程组 得 或，则B（1+，3+），

设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，

当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．