Question

【题目】已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CN∥AB，

∴∠DAM=∠NCM，

在△ADM和△CNM中，

，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴MD=MN，

∴四边形ADCN是平行四边形

（2）解：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MC=MD，

∴AC=DN，

∴ADCN是矩形，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵∠ACB=90°，

∴CD=AD=BD= AB，

∴ADCN是正方形，

∴AN=AD=BD=CD=CN．

【解析】（1）由CN∥AB，MA=MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD=MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD=2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB=90°，AC=BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．