Question

【题目】如图，、是的直径，是的弦，且，过点的切线与的延长线交于点，连接.

(1)求证：平分；

(2)求证：；

(3)若，求的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.

【解析】试题分析：（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE，即可得结论；（3）由PC2=PBPE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可．

试题解析：

（1）∵BE∥CD，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）如图，连接EC、AC，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠PCD=90°，

又∵BE∥DC，

∴∠P=90°，

∴∠1+∠4=90°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠A+∠2=90°，

又∠A=∠5，

∴∠5+∠2=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠5=∠4，

∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCE，

∴，即PC2=PBPE；

（3）∵BE﹣BP=PC=4，

∴BE=4+BP，

∵PC2=PBPE=PB（PB+BE），

∴42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，

解得：PB=2，

则BE=4+PB=6，

∴PE=PB+BE=8，

作EF⊥CD于点F，

∵∠P=∠PCF=90°，

∴四边形PCFE为矩形，

∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，

∵BE∥CD，

∴，

∴DE=BC，

在Rt△DEF和Rt△BCP中，

∵，

∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），

∴DF=BP=2，

则CD=DF+CF=10，

∴⊙O的半径为5．