【题目】如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上， 求点A的坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

参考答案：

【答案】（1）y=；（2）（1，1）；（3）符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式；（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可；（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．

试题解析：（1）由题意得 ，②-①得：k=2，∴反比例函数的解析式为y=；

（2）由，解得，，∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）；

（3）OA==，OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时，由OA=得（，0），由OA=得（-，0）；由OA=得（2，0）．②当OA为底时，=得（1，0）．

∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．

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