Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴和x轴上，边CD交x轴的正半轴于点E．

（1）若A（0，a），且，求A点的坐标；

（2）在（l）的条件下，若3AO=4EO，求D点的坐标；

（3）如图2，连结AC交x轴于点F，点H是A点上方y轴上一动点，以AF、AH为边作平行四边形AFGH，使G点恰好落在AD边上，试探讨BF，HG与DG的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4）或（0，）；（2）D（4，2）或（4，）；（3）2HG2＋DG2＝4BF2，详见解析

【解析】

（1）由，得出a=±4，即可得出结果；

（2）当A（0,4）时，作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，由AAS证得△AOB≌△AMD，得出AM＝AO＝4，求出EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝25，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，设D（4，m），代入求出m＝2，即可得出结果；同理当A（0,-4）时，可求出D点坐标；

（3）作FP⊥AD于P，连DF，在Rt△AFP中，得到HG＝AF＝PF，证明BF＝DF与BF＝GF，得出点P是DG的中点，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，即可得出结果．

（1）解：∵,

∴a=±4，

∴A点的坐标为（0，4）或（0，-4）；

（2）当A点的坐标为（0，4）时

作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，连AE，如图1所示：

则∠BAD＝∠OAM＝90°，

即∠BAO＋∠OAD＝∠OAD＋∠DAM，

∴∠BAO＝∠DAM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ADE＝90°，

在△AOB与△AMD中，

，

∴△AOB≌△AMD（AAS），

∴AM＝AO＝4，

∴四边形AONM是正方形，

∴MN＝ON＝4，

∵3AO＝4EO，

∴EO＝3，

在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝42＋32＝25，

在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋DM2，

在Rt△DNE中，ED2＝EN2＋DN2，

在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，

∴AM2＋DM2＋EN2＋DN2＝25，

设D（4，m），则DM＝4m，EN＝43＝1，DN＝m，

∴4span>2＋（4m）2＋12＋m2＝25，

∴m＝2，

∴D（4，2）

当A点的坐标为（0，-4）时，

同理可得D（4，-2）

（3）解：2HG2＋DG2＝4BF2，理由如下：

过点F作FP⊥AD于P，连DF，如图2所示：

∵四边形AFGH是平行四边形，

∴HG＝AF，AH∥GF，

∴∠FGA＝∠GAH，

∴∠FGD＝∠OAG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠CAD＝∠BCF＝∠DCF＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴PF=AP,

∴

∴AF＝PF，

∴HG＝AF＝PF，

故PF＝，

在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴BF＝DF，∠CBF＝∠CDF，

∵∠FDG＝90°∠CDF，∠ABO＝90°∠CBF，

∴∠FDG＝∠ABO，

∵∠OAG＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，

∴∠OAG＝∠ABO，

∴∠FGD＝∠FDG，

∴GF＝DF＝BF，

∴点P是DG的中点，

∴DP＝，

在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，

即（）2＋（）2＝BF2，

∴2HG2＋DG2＝4BF2．