Question

【题目】己知，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；（2）D（0，﹣1）或D（0，6）；（3）最大面积为1.5，H（1，0）．

【解析】试题分析：（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，进而求出△CHF与△HFE的面积之和的函数关系式，即可求出最大值.

试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，

∴A（1，0），B（2，0），

∴，

∴，

∴二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2；

（2）∵二次函数的表达式y=﹣x2+3x﹣2，

∴C（0，﹣2），

∴OC=2，

∵A（1，0），B（2，0）

∴OB=2，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，

∴∠DCB=∠ABC=45°

∴设D（0，d），d＞﹣2，

∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），

∴AB=1，BC=2，CD=d+2，

∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，

∴①△DCB∽△ABC，

∴=1，

∴CD=AB=1，

∴d+2=1，

∴d=﹣1，

∴D（0，﹣1）；

②△BCD∽△ABC，

∴，

∴，

∴d=6，

∴D（0，6）；

（3）如图，

∵CE∥轴，

∴令y=﹣2，

∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，

∴x=0（舍）或x=3，

∴E（3，﹣2），

∵B（2，0），C（0，﹣2），

∴直线BC的解析式为y=x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），

∵点F是线段BC上的点，

∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，

∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+，

∴m=1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．