Question

【题目】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；

（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为 ， ；

（4）图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）

（5）图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）15°，24°；（4）是；（5）．

【解析】

试题分析：（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；

（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；

（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；

（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；

（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．

试题解析：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'，∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形；

（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，∴∠EAP=∠E'AO，∴△APE≌△AOE'（ASA），∴∠OAE'=∠PAE．

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB，∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN，∴Rt△APM≌Rt△AON （HL），∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB，∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．

（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，∵AD′=AB，AO=AO，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．

（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．

故答案为：是．

（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=．

故答案：．