Question

【题目】如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．

（1）写出点Q的坐标是________；

（2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围；

（3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值.

Answer 1

【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0

【解析】

(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案；

(2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，继而根据偶次方的非负性即可求得答案 .

(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，

∴∠P+∠POA=90°，

由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，

∴∠QOB+∠POA=90°，

∴∠QOB=∠P，

∴△OBQ≌△PAO(AAS)，

∴OB=PA，QB=OA，

∵点P的坐标为(1，3)，

∴OB=PA=3，QB=OA=1，

∴点Q的坐标为(-3，1)；

(2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，

得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)，

而M在第四象限，

所以，

解得a>3，

即a的范围为a>3；

(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，

∴

，

∵，

∴当a=4时，代数式的最小值为0.