Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，且OA=OB=OC，点P是边CD上的一个动点，连接OP，过点O作OQ⊥OP，交BC于点Q.

（1）求OB的长度；

（2）设DP= x，CQ= y，求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；

（3）若OCQ是等腰三角形，求CQ的长度.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）当或时，⊿OCQ是等腰三角形.

【解析】

(1)利用勾股定理先求出AC的长，继而根据已知条件即可求得答案；

(2)延长QO交AD于点E，连接PE、PQ ，先证明△AEO≌△CQO，从而得OE=OQ，AE=CQ=y，由垂直平分线的性质可得PE=PQ，即，在Rt⊿EDP中，有，在Rt⊿PCQ中，，继而可求得答案；

(3)分CQ=CO，OQ=CQ，OQ=OC三种情况分别进行讨论即可求得答案.

(1)∵四边形ABCD是长方形，

∴∠ABC=90°，

∴，

∴OB=OA=OC=；

(2)延长QO交AD于点E，连接PE、PQ ，

∵四边形ABCD是长方形，

∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD//BC，

∴∠AEO=∠CQO，

在△COQ和△AOE中，

，

∴△AEO≌△CQO(SAS)，

∴OE=OQ，AE=CQ=y，

∴ED=AD-AE=8-y，

∵OP⊥OQ，

∴OP垂直平分EQ，

∴PE=PQ，

∴，

∵PD=x，

∴CP=CD-CP=6-x，

在Rt⊿EDP中，，

在Rt⊿PCQ中，，

∴，

∴；

(3)分三种情况考虑：

①如图，若CQ=CO时，此时CQ=CO=5；

②如图，若OQ=CQ时，作OF⊥BC，垂足为点F，

∵OB=OC，OF⊥BC，

∴BF=CF=BC=4，

∴，

∵OQ=CQ，

∴，

∴，

∴，

∴ ；

③若OQ=OC时，此时点Q与点B重合，点P在DC延长线上，此情况不成立，

综上所示，当或时，⊿OCQ是等腰三角形.