Question

【题目】已知：点P是∠MAN的角平分线上一点，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C.

（1）如图1，点D、E分别在线段AB、AC上，且∠DPE=∠BPC，求证：DE=BD+CE；

（2）如图2，若D在AB的延长线上，E在直线AC上，则DE、BD、CE三者的数量关系变化吗？若变化，请直接写出结论即可。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）DE=CE-BD，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）在AM上截取BM=CE，由角平分线的性质得到PB=PC，再由边角边证得△PBQ≌△PCE，由全等三角形的性质得到PM=PE，∠BPM=∠CPE，再由边角边证△DPM≌△DPE，等量代换即可得证；

（2）在NM上截取CQ=BD，由角平分线的性质得到PB=PC，再由边角边证得△PBD≌△PCQ，由全等三角形的性质得到PD=PQ，∠BPD=∠CPQ，再由边角边证△DPE≌△QPE，等量代换即可得证

试题解析：（1）在AM上截取BM=CE,

∵点P在∠MAN的平分线上，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C，

∴PB=PC，∠PBQ=∠PCE.

在△PBQ和△PCE中， ，

∴△PBQ≌△PCE（SAS），

∴PM=PE，∠BPM=∠CPE，

∵∠DPE=∠BPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠CPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠BPE，

即∠DPE=∠BPM，

在△DPM和△DPE中， ，

∴△DPM≌△DPE，（SAS）

∴DM=DE，

∵DM=DB+BM，

∴DE=BD+CE.

（2）在NM上截取CQ=BD，

∵点P在∠MAN的平分线上，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C，

∴PB=PC，∠PBD=∠PCQ.

在△PBD和△PCQ中， ，

∴△PBD≌△PCQ（SAS），

∴PD=PQ，∠BPD=∠CPQ，

∵∠DPE=∠BPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠CPE，

∴∠DPE=∠QPE，

在△DPE和△QPE中， ，

∴△DPE≌△QPE，（SAS）

∴DE=QE，

∵QE=CE-CQ，

∴DE=CE-BD.