Question

【题目】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠BCA=90°，

而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，

∴B、C、E三点共线；

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，

∵CB=CA，CD=CE，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，

∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，

∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；

∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，

∴MN=OM；

（3）成立．理由如下：

和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，

从而有M1N1=OM1．

【解析】略