Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，AB的延长线与PC交于点P，PC的延长线与AD交于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）连接BC，如果∠ABC=60°，BC=2，求线段PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC，

∴AD⊥PC；

（2）解：∵∠ABC=60°，OC=OB，

∴△BOC是等边三角形，

∴OC=2，

∴∠COP=60°，

∵PC切⊙O于点C，

∴∠OCP=90°，

∴PC=2 ．

【解析】（1）连接OC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠ACO，推出AD∥OC，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△BOC是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．