Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P．

（1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OP，

∵AC是⊙O的切线，

∴OP⊥AC，BC⊥AC，

∴OP∥BC，

∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠PBC=∠OBP，

∴BP平分∠ABC

（2）作PH⊥AB于H．

∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，

∴PC=PH=1，

在Rt△APH中，AH= =2 ，

∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，

∴△APH∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=3 ，

∴BH=AB﹣AH= ，

在Rt△PBC和Rt△PBH中，

，

∴Rt△PBC≌Rt△PBH，

∴BC=BH= ．

【解析】（1） 根据切线的性质易证OP∥BC，由平行线的性质定理得∠OPB=∠PBC，由等边对等角得∠OPB=∠OBP，进而∠PBC=∠OBP，即BP平分∠ABC；（2） 作PH⊥AB于H． 由角平分线的性质定理得PC=PH=1，在Rt△APH中由勾股定理得AH得长 度，进而判断出△APH∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例得出AB的长，进而得出BH的长，再证出Rt△PBC≌Rt△PBH，由全等三角形对应边成比例就可以得出结论。
【考点精析】掌握角平分线的性质定理和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．