Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BE⊥AC于点F，交边AD于点E，连结DF，若点E为AD的中点，则DF的长为__________ .

Answer 1

【答案】3

【解析】分析：过F作FH⊥AD于H．设AE=x，则ED=x．由∠1=∠3，得到tan∠1===tan∠3==，解方程得到AE的长．由勾股定理得到BE的长．由S△ABE=AB×AE=EB×AF，得到AF的长．再由∠1=∠3，得到sin∠1=sin∠3，从而得到FH、AH、HD的长，即可得到结论．

详解：过F作FH⊥AD于H．设AE=x，则ED=x．

∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°．

∵BE⊥AC，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3．在Rt△ABE中，tan∠1==．在Rt△ADC中，tan∠3==，∴=，解得：x=(负数舍去)．在Rt△ABE中，BE==．

∵S△ABE=AB×AE=EB×AF，∴，解得：AF=．

∵∠1=∠3，∴sin∠1=sin∠3，∴，解得：FH=1，∴AH===，∴HD=AD-AH==，∴FD== =3．

故答案为：3．