Question

【题目】已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3；(2) P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；(3) （1，﹣4）.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．

试题解析：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），

∵直线y=﹣x+b经过点A，

∴b=﹣3，

∴y=﹣x﹣3，

当x=2时，y=﹣5，

则点D的坐标为（2，﹣5），

∵点D在抛物线上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，

解得，a=﹣，

则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）作PH⊥x轴于H，

设点P的坐标为（m，n），

当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣4时，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴=，即AB2=ACPB，

∴42=，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则n=5a=﹣，

∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；

当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，

∴=，即n=﹣3a（m﹣1），

∴，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣6时，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴=，即AB2=BCPB，

∴42=，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则点P的坐标为（﹣6，﹣），

综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，

则tan∠DAN===，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE==EF，

∴Q的运动时间t=+=BE+EF，

∴当BE和EF共线时，t最小，

则BE⊥DM，E(1,﹣4)．