Question

【题目】如图①，中，，点为边上一点，于点，点为中点，点为中点，的延长线交于点，≌.

（1）求证：；

（2）求的大小；

（3）如图②，过点作交的延长线于点，求证：四边形为矩形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠MEF＝30°；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理可得CM＝DB，EM＝DB，问题得证；

（2）利用全等三角形的性质，证明△DEM是等边三角形，即可解决问题；

（3）设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出，，得到AN∥PM，易证四边形ANMP是平行四边形，结合∠P＝90°即可解决问题．

解：（1）证明：如图①中，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠DCB＝90°，

∵DM＝MB，

∴CM＝DB，EM＝DB，

∴CM＝EM；

（2）解：∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，

∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°

∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，

∵∠AED＝∠DEF＝90°，∠DEM＝60°，

∴∠MEF＝30°；

（3）证明：如图②中，设FM＝a．

由（2）可知△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∠MEF＝30°，

∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，

∵CN＝NM，

∴MN＝a，

∴，，

∴EM∥AN，

∵AP⊥PM，MN⊥PM，

∴AP∥MN，

∴四边形ANMP是平行四边形，

∵∠P＝90°，

∴四边形ANMP是矩形．