Question

【题目】[材料阅读]

材料一：如图，，点在的平分线上，，点，D分别在上．可求得如下结论：，为定值．

材料二(性质)：四边形的内角和为．

[问题解决]

（1）如图，点在的平分线上，的边与交于点，且，求的值(用含的式子表示)．

（2）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点是的中点，，与轴交于点,与轴的正半轴交于点，连接．求的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的长度为或

【解析】

（1）如图1，作于点F，根据角平分线的性质可得PE=PF，再根据材料二的结论和已知条件可得∠OCP=∠FDP，进一步即可根据AAS证明，从而得，由勾股定理易得，进而可推出，而OE可根据勾股定理求出，于是可得结论；

（2）分情况讨论：①若点C在线段AO上，由一次函数与坐标轴的交点可得OA=OB=7，可得△AOB是等腰直角三角形，如图2，连接，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得OP=BP，∠PBO=∠POA =45°，∠OPC=∠BPD，进而可根据ASA证明，可得，然后在中利用勾股定理即可求出CD；

②若点C在射线AO上，如图3，连接，仿①的思路利用ASA证明，可得，然后在中利用勾股定理求解即可．

解：(1)如图1，作于点F，∵PO平分∠AOB，PE⊥OA，∴PE=PF，

在四边形OCPD中，∵，∴由材料二的结论得：，

∵，∴∠OCP=∠FDP，

在△PEC和△PFD中，∵∠OCP=∠FDP，∠CEP=∠DFP=90°，PE=PF，

∴（AAS），∴．

∵，PE=PF，∴．

∴，

在中，∵，∴；

(2)分情况讨论：①若点C在线段AO上，由直线，可得，A（0，7），∴OA=OB=7，∴△AOB是等腰直角三角形，

如图2，连接，∵P为AB中点，∴OP=AP=BP，∠PBO=∠POC=∠POB=45°，∠OPB=90°，

∵，∴∠BPD+∠OPD=90°，

∵∠OPC+∠OPD=90°，∴∠OPC=∠BPD，

∴（ASA），∴，

又∵OB=7，∴OD=5，则在中，；

②若点C在射线AO上，如图3，连接，

∵△AOB是等腰直角三角形，P为AB中点，

∴OP=BP，∠PBO=∠POA =45°，∠OPB=90°，

∴∠POC=∠PBD=135°，

又∵，∴∠BPD+∠CPB=90°，

∵∠OPC+∠CPB=90°，∴∠OPC=∠BPD，

∴（ASA），∴，

∵OB=7，∴，则在中，．

综上所述，的长度为或．