Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ 与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动.以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方）.设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ 经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ；

则D点坐标为（﹣2， ）

（2）解：∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为 ，则tan∠DAP= ，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ为等边三角形，

∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD= ．

①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴点Q的纵坐标为tsin60°= t，

∴S= × t×t= t2．

②当2＜t≤3时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，

设QP与DC交于点H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等边三角形，

∴S=S△QAP﹣S△QDH，

∵QA=t，

∴S△QAP= t2．

∵QD=t﹣2，

∴S△QDH= （t﹣2）2，

∴S= t2﹣ （t﹣2）2= ﹣ ．

③当3＜t≤4时，如图：

此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，

设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OPtan60°= t﹣3），

∴S△FOP= × （t﹣3）（t﹣3）= （t﹣3）2，

∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE= t﹣ ．

∴S= t﹣ ﹣ （t﹣3）2= t2+4 t﹣ ．

综上所述，S与t之间的函数关系式为

（3）解：∵OC= ，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．

①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图，过点M2作AO的垂线，垂足为N，

∵∠M2AO=30°，AO=3，

∴M2O= ，

又∵∠OM2N=M2AO=30°，

∴ON= OM2= ，M2N= ON ，

∴M2的坐标为（﹣ ， ）．

同理可得M1的坐标为（﹣ ， ）．

②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：

∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，

∴ ，或 = ，

∵OA=3，

∴AM= 或AM= ，

∵AM⊥OA，且点M在第二象限，

∴点M的坐标为（﹣3， ）或（﹣3，3 ）．

综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3， ），（﹣3，3 ），（ ， ，（﹣ ， ）．

【解析】（1）把A、B两点的坐标代入抛物线解析式，求出抛物线的解析式，由抛物线与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，由顶点式得到D点坐标；（2）由点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为 3 ，得到tan∠DAP= 3 ，∠DAP=60°，又△APQ为等边三角形，得到点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质和勾股定理求出：AP=AD的值；①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积；②当2＜t≤3时，此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，根据已知条件和三角形的面积公式，得到S与t之间的三种函数关系式；（3）根据已知可得△OAC是含30°的直角三角形，①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出M2的坐标，同理可得M1的坐标；②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时，以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，得到比例，求出AM的值，得到点M的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.