Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF．

（1）若AB=2，BF=3，求AD的长度；

（2）G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE．

Answer 1

【答案】（1）5（2）见详解

【解析】

（1）易证DE∥AB，可得△ABC∽△DEC，即可证明△CDE为等腰直角三角形，根据CE即可求得CD的长，根据AB可求得AC的长，根据AD=AC+CD即可解题；

（2）连接EG、BG，易证BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，即可证明△GBF≌△GCE，可得GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，即可证明△EFG为等腰直角三角形，可得∠GFE=∠GEF，根据∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解题．

(1)∵DE⊥BE，AB⊥BE，

∴DE∥AB，

∴△ABC∽△DEC，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∵CE=BF=3,∴CD=3，

∵AB=2,∴AC=2，

∴AD=AC+CD=5；

(2)连接EG、BG,证明△GBF≌△GCE.:∠AFG+∠BEF=∠GFE.

∵G是等腰直角△ABC斜边AC中点，

∴BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°，

∴∠GBF=∠GCE=135°，

∵在△GBF和△GCE中, GB=GC,∠GBF=∠GCE,BF=CE，

∴△GBF≌△GCE,(SAS)

∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，

∵∠BGF+∠FGC=90°，

∴∠CGE+∠FGC=90°,即∠EGF=90°，

∴△EFG为等腰直角三角形，

∴∠GFE=∠GEF=45°，

∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，

∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，

∴∠AFG+∠BEF=∠GFE.