Question

【题目】（1）操作发现：

如图①，在中，，点D是BC上一点，沿AD折叠，使得点C恰好落在AB上的点E处.请写出AB、AC、CD之间的关系________________________________；

（2）问题解决：

如图②，若（1）中；，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；

（3）类比探究：

如图③，在四边形ABCD中，，，，，连接AC、点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若，求DE的长．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2），证明详见解析；（3）．

【解析】

(1)由翻折的性质得到AE=AC,DE=DC,然后证明△BED为等腰直角三角形,从而得到BE=ED ，故可证明得AB=AC+CD；

(2)由翻折的性质得到AE=AC,DE=DC，∠C=∠AED,由三角形外角的性质可证明∠B=∠AED由三角形外角的性质可证明,从而得到BE=ED于是可证明AB-AC+CD;

(3)过点B作BH⊥AC,垂足为H,由特殊锐角三角函数值可知CH的长,然后求得AD的长，最后根据AC=AD+DE求解即可.

解：（1）

90°

∴45°

由翻折的性质得到AE=AC,DE=DC，90°

∴=45°

∴BE=ED

∴BE=DC

∴；

（2）连接DE，有题意可知：

∵，

∴

∵

∴

∴

∴．

（3）作BH⊥AC于点H，根据∠B=120°, AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=30°

在Rt△BHC中,CH=BC×=

∵AH=CH,

∴AC=2CH=2()

∵AD=DC, ∠D=90°

∴∠ACD=45°,在Rt△ACD中，根据勾股定理有

∴AD2=2()2

∴AD=

又由(1)，(2)可知，AD+ED=AC

∴DE=AC-AD=2+2-（2+6）=