Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC= ，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，由AB=1，BC= ，

得AC= = ，

∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E

∴BC=CD，AE=AD，

∴AE=AC﹣CD=

（2）解：∠EAG=36°，理由如下：

∵FA=FE=AB=1，AE= ，

∴ = ，

∴△FAE是黄金三角形，

∴∠F=36°，∠AEF=72°，

∵AE=AG，

∴∠EAG=∠F=36°

【解析】（1）根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC=CD，AE=AD求得AE=AC﹣AD即可．（2）根据FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黄金三角形可得∠EAG=∠F=36°．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．