Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．

（1）直接写出抛物线的解析式：；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2+x+4
（2）

解：由抛物线y=﹣ x2+x+4可知C（0，4），

∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，

∴C′（2，4），

∴A′（0，0）

（3）

解：存在．

设F（x，﹣ x2+x+4）．

以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，

①若AC为平行四边形的边，如答图1﹣1所示，则EF∥AC且EF=AC．

过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，

∴DE1=2，DF1=4．

∴﹣ x2+x+4=﹣4，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．

∴F1（1+ ，﹣4），F2（1﹣ ，﹣4）；

∴E1（3+ ，0），E2（3﹣ ，0）．

②若AC为平行四边形的对角线，如答图1﹣2所示．

∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴，

∴点C为点A关于x=1的对称点，

∴F3（2，4），CF3=2．

∴AE3=2，

∴E3（﹣4，0），

综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形；

点E、F的坐标为：E1（3+ ，0），F1（1+ ，﹣4）；E2（3﹣ ，0），F2（1﹣ ，﹣4）；E3（﹣4，0），F3（2，4）

【解析】解：（1）∵A（﹣2，0），对称轴为直线x=1．
∴B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+x+4；
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．