Question

【题目】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2=AFAB；
（3）若⊙O的直径为10，AC=2 ，AB=4 ，求△AFG的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：PA与⊙O相切．理由：

连接CD，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，

∴∠PAC=∠D，

∴∠PAC+∠CAD=90°，

即DA⊥PA，

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切

（2）解：证明：如图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，

∴ = ，

∴∠AGF=∠ABG，

∵∠GAF=∠BAG，

∴△AGF∽△ABG，

∴AG：AB=AF：AG，

∴AG2=AFAB

（3）解：解：如图3，连接BD，

∵AD是直径，

∴∠ABD=90°，

∵AG2=AFAB，AG=AC=2 ，AB=4 ，

∴AF= = ，

∵CG⊥AD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∵∠EAF=∠BAD，

∴△AEF∽△ABD，

∴ ，

即 ，

解得：AE=2，

∴EF= =1，

∵EG= =4，

∴FG=EG﹣EF=4﹣1=3，

∴S△AFG= FGAE= ×3×2=3．

【解析】（1）首先连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，然后由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）首先连接BG，易证得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（3）首先连接BD，由AG2=AFAB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．