Question

【题目】如图所示，PA、PB为⊙O的切线，M、N是PA、AB的中点，连接MN交⊙O点C，连接PC交⊙O于D，连接ND交PB于Q，求证：MNQP为菱形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：连接OA，OB，OC，OD，OP. 由是的中点，根据三角形中位线的性质，可得MN∥BP.，又由PA、PB为的切线，可得AB⊥OP.可证得NM=MP，然后由射影定理与切割线定理证得O，C，D，N四点共圆，继而证得

MP∥NQ，则可得四边形MNQP是平行四边形，证得四边形MNQP是菱形．

试题解析：证明：连接OA，OB，OC，OD，OP.

∵AN=NB，AM=MP.

∴MN∥BP.

∵PA、PB为的切线，

∴AB⊥OP.

∴NM=MP，∠MNP=∠MPN，

在Rt△AOP中,由射影定理,得

由切割线定理,得

∴PNPO=PDPC，

∴O，C，D，N四点共圆，

∴∠PND=∠OCD，∠ONC=∠ODC，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠MNP=∠ONC，

∴∠MNP=∠PND=∠MPN，

∴MP∥NQ，

∴四边形MNQP是平行四边形，

∴四边形MNQP是菱形.