Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为_____．

Answer 1

【答案】 或

【解析】分析：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若若CE:CF=3:4，如图1所示，此时EF∥AB. CD为AB边上的高，②若CF:CE=3:4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD，与∠CEF=∠B.从而得到，即D点为AB的中点．

详解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：

若CE:CF=3:4，如图1所示：

∵CE:CF=AC:BC，

∴EF∥AB.

由折叠性质可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高，

在Rt△ABC中,∵

∴

∴

∴AD=ACcosA=

若CF:CE=3:4，如图2所示：

∵△CEF∽△CBA，

∴∠CEF=∠B.

由折叠性质可知,

又∵

∴∠A=∠ECD，

∴AD=CD.

同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，

∴D点为AB的中点，

∴

综上所述，AD的长为或

故答案为：或